Всего: 103 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На кодовом замке имеется круглый диск с нанесенными на равноотстоящих интервалах по его периметру числами от 1 до 12. Изначально диск установлен как на рис. 1. Замок откроется, если диск окажется повернутым на 30° относительно своего первоначального положения (рис. 2). Для изменения положения диска имеется специальный стержень, который можно продеть через два любых диаметрально противоположных числа (например, через 1 и 7 как на рис. 3), а затем повернуть диск вокруг стержня на 180° (в результате диск окажется в положении, изображенном на рис. 4). Каким образом и за какое наименьшее число таких поворотов можно открыть замок?
Для шифрования сообщений Катя и Антон использовали шифр Сцитала: на круглую палочку виток к витку без просветов и нахлёстов наматывалась лента. При горизонтальном положении палочки на ленту по всей длине стержня построчно записывался текст сообщения без знаков препинания и пробелов. После этого лента с записанным на ней текстом посылалась адресату. Антон передал Кате ленту, на которой было написано вот что (см. нижний рис).
К сожалению, Катя свою палочку потеряла, но она видит, что лента исписана полностью, и знает, что при намотке ленты было сделано целое число оборотов. Помогите ей восстановить сообщение.
Значит, стоит попробовать вписать зашифрованный текст (по столбцам сверху вниз) в таблицы размеров типа 
и 
Осмысленный текст (при чтении по строкам) получается в последнем случае.Для проверки корректности номера пластиковой карты, представляющего собой набор из 16 цифр
вычисляются контрольные суммы A, B и C:
Если все три суммы A, B и C делятся нацело на 10, то номер признаётся корректным. Каких корректных номеров больше и насколько: у которых первые 4 цифры 0000 или тех, у которых последние 4 цифры 0000?
Для зашифрования осмысленного русского слова используется последовательность натуральных чисел y1, y2, ..., которая формируется так: y1 выбирается произвольно, а остальные члены последовательности вычисляются по формуле 
Зашифрование производилось следующим образом. Первая буква слова заменялась числом согласно таблице и умножалась на y1. Потом также заменялась вторая буква и умножалась на y2 и т. д. Затем все произведения были замены остатками от деления на 32. В результате получилось вот что:
12, 22, 16, 1, 3, 15, 0, 26, 0, 9, 8, 1.
Какое слово было зашифровано?
Заметим, что 
На столе выложены 13 карточек в порядке возрастания их номеров (рис. а). Карточки разрешается перекладывать тройками, а именно: выбираем три любые карточки, например, с номерами 2, 3 и 5. Затем крайняя левая карточка перемещается на место средней, средняя на место крайней правой, а крайняя правая на место крайней левой. Результат изображен на рис. б. Можно ли, перекладывая карточки указанным способом, уложить их как на рис. а, но в порядке убывания номеров (карточка с номером 13 — первая, с номером 1 — последняя)?
Треугольником Паскаля называют бесконечную треугольную таблицу чисел, у которой на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним чисел. Так, например, третья строка треугольника (1, 2, 1) содержит два нечетных числа и одно четное. Сколько четных чисел содержится:
а) в строке с номером 256?
б) в строке с номером 200?
Рассмотрим структуру треугольника подробнее. Треугольник, сформированный первыми восемью строками, обозначим T8. В строке 9 всего две единицы (по бокам), остальные — нули. С этой строки и вниз далее идет формирование двух треугольников T8, которые «встречаются друг с другом» в строке 16. Начиная со строки 17 и ниже, образовываются два треугольника T16, которые, в свою очередь, «встречаются» в строке 32. Со строки 33 и ниже формируются два треугольника T32 и т. д. Таким образом, строки, чей номер представляет собой степень двойки, состоят только из единиц. Поэтому в строке 256 четных чисел нет.
Значит, единиц в строке 200 вдвое больше, чем единиц в строке с номером 72. В свою очередь единиц в строке 72 вдвое больше, чем в строке 8 (рассмотреть треугольники, формирующиеся после строки 64). Количество же 1 в строке 8 можно подсчитать непосредственно — их 8 штук. Значит, в строке 200 их 32, остальные 168 — нули.
которые имеют одинаковые остатки при делении на 403. Действительно, чисел вида (1) бесконечно много, а различных остатков от деления на 403 всего 403 штуки. 
делится на 403. Теперь отбросим все нули на конце десятичной записи этой разности. В результате получим число вида (1). И это число, очевидно, по-прежнему делится на 403. Оно делится также и на 5, так как на 5 оканчивается, а значит, делится на 2015.Треугольником Паскаля называют бесконечную треугольную таблицу чисел, у которой на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним чисел. Так, например, третья строка треугольника (1, 2, 1) содержит два нечетных числа и одно четное. Сколько четных чисел содержится:
а) в строке с номером 1024?
б) в строке с номером 1050?
3начит единиц в строке 1050 вдвое больше, чем единиц в строке с номером 26. Количество же 1 в строке 26 можно подсчитать непосредственно, или, рассуждая аналогично, заметить, что их вдвое больше, чем в строке 10. То есть всего в строке 26 восемь 1. Значит, в строке 1050 их 16. Остальные 1034 — нули.Рассмотрим множество всех точек плоскости, координаты которых имеют вид 
где m, n — целые числа. Докажите, что на прямой, проходящей через любые две точки указанного множества, лежит сторона некоторого квадрата, все четыре вершины которого принадлежат этому множеству. Укажите минимальную площадь такого квадрата.
—
и только они. Применительно к нашей задаче, требуется проверить, что для каждого вектора 
существует перпендикуляр вида 
Другими словами надо решить относительно 
уравнение 
существует перпендикулярный ему вектор 
вида 
Нетрудно понять, что вектора 
и 
Координаты четвертой вершины квадрата D совпадают с координатами вектора 
которые находятся из очевидного соотношения 
и 
где k — уже произвольное целое число. Подставив полученное выражение для m1 в формулу для площади 
Число городов в Криптоландии равно 44. В качестве названий города имеют различные цифровые комбинации вида
Два города, названия которых отличаются одной цифрой, называются соседними. Например, города (3201) и (3001) соседние, а (1111) и (3311) — нет. У каждого города есть флаг определенного цвета, причем флаги соседних городов всегда имеют несовпадающие цвета. Власти объявили конкурс на создание системы флагов для городов, имеющей наименышее возможное число различных цветов. Найдите это наименьшее число. Ответ обоснуйте.
Чтобы снять деньги с карточки, Алиса в банкомате вводит пин-код (ПК) x1, x2, x3, x4 — набор из 
целых чисел 
Банкомат зашифровывает введенный ПК по следующему правилу: он случайным образом выбирает целое число x5 такое, что 
а затем формирует зашифрованный пин-код (ЗПК) y1, y2, y3, y4, y5 по формулам:
где 
r16(x) — остаток от деления числа x на 16, а f — некоторое правило, по которому одно целое число от 0 до 15 заменяется на другое (возможно, то же самое) целое число от 0 до 15, причем разные числа заменяются разными. После этого ЗПК отправляется на сервер, где он расшифровывается (то есть по присланным числам y1, y2, y3, y4, y5 вычисляются x1, x2, x3, x4 и 
и, если 
не удовлетворяет неравенству то сервер выдает сообщение об ошибке. Известно, что для ПК Алисы был сформирован следующий ЗПК: 13, 13, 1, 11, 7. Известно также, что хакеры пытались отсылать на сервер (напрямую, минуя банкомат) в качестве y1, y2, y3, y4, y5 комбинации чисел вида 0, 0, 0, a, b. Результаты их попыток приведены в таблице (знак «+» — сервер не выдал сообщение об ошибке, знак «_» — выдал). Какой ПК у Алисы?
будут задействованы только последние два числа: a, b. Тогда процедура проверки будет выглядеть следующим образом: 
(помечены в таблице темным, далее по тексту условно обозначим 
—
имеем 
имеем 
имеем 
имеем 
имеем 
то есть 
возможна ситуация, что при проверке 
будет «+», при 
то есть 
Это является удобным критерием для определения обратных значений функции f.
Из-за закономерностей в образовании «+» не трудно догадаться, что подходящей под критерий структурой будет
и 
что позволяет найти x4: 
Не трудно заметить, что подходящей под критерий структурой будет
и 
что позволяет найти x3: 
Из-за закономерностей в образовании «_» не трудно догадаться, что подходящей структурой будет
и 
что позволяет найти x1, x2: 
Для шифрования сообщений Катя и Антон использовали шифр Сцитала: на круглую палочку виток к витку без просветов и нахлёстов наматывалась лента. При горизонтальном положении палочки на ленту по всей длине стержня построчно записывался текст сообщения без знаков препинания и пробелов. После этого лента с записанным на ней текстом посылалась адресату. Антон передал Кате ленту, на которой было написано вот что:
К сожалению, Катя свою палочку потеряла, но она видит, что лента исписана полностью, и знает, что при намотке ленты было сделано целое число оборотов. Помогите ей восстановить сообщение.
и 
Осмысленный текст (при чтении по строкам) получается в последнем случае.Докажите, что для каждого натурального 
квадрат можно разрезать на n прямоугольников (не обязательно одинаковых), у каждого из которых одна сторона вдвое больше другой. Резать разрешается по линиям, параллельным сторонам исходного квадрата.
таких прямоугольников. Действительно, для этого достаточно один из этих k прямоугольников, разрезать на четыре прямоугольника, у каждого из которых стороны также относятся как 2 : 1 (рис. 1). Таким образом, для завершения доказательства остается показать, что квадрат можно разрезать на 
и 7 прямоугольников указанного вида. Соответствующие линии разреза приведены на рисунках 1−4. Для удобства сторона квадрата принята равной 24.
Для зашифрования осмысленного русского слова используется последовательность натуральных чисел y1, y2, ..., которая формируется так: y1 выбирается произвольно, а остальные члены последовательности вычисляются по формуле Зашифрование производилось следующим образом. Первая буква слова заменялась числом согласно таблице и умножалась на y1. Потом также заменялась вторая буква и умножалась на y2 и т. д. Затем все произведения были замены остатками от деления на 32. В результате получилось вот что:
8, 16, 24, 13, 22, 10, 9, 16, 0, 28, 24.
Какое слово было зашифровано?
а значит 
Заметим, что 
На столе выложены 11 карточек в порядке возрастания их номеров (рис. а). Карточки разрешается перекладывать тройками, а именно: выбираем три любые карточки, например, с номерами 2, 3 и 5. Затем крайняя левая карточка перемещается на место средней, средняя на место крайней правой, а крайняя правая на место крайней левой. Результат изображен на рис. б. Можно ли, перекладывая карточки указанным способом, уложить их как на рис. а), но в порядке убывания номеров (карточка с номером 11 — первая, с номером 1 — последняя)?
то есть нечетно. Треугольником Паскаля называют бесконечную треугольную таблицу чисел, у которой на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним чисел. Так, например, третья строка треугольника (1, 2, 1) содержит два нечетных числа и одно четное. Сколько четных чисел содержится в строке с номером 100?
Значит, единиц в строке 100 вдвое больше, чем единиц в строке с номером 36. В свою очередь единиц в строке 36 вдвое больше, чем в строке 4 (рассмотреть треугольники, формирующиеся после строки 32), то есть 8 штук. Значит, в строке 100 их 16. Остальные 84 — нули.
делится на 5;
делится на 10. 
способами. Следующие четыре цифры 
выбираем произвольно, а выполнение условия (2) обеспечивается единственно возможным выбором цифры a10. Таким образом, количество наборов из 
Следовательно, 
Поскольку 
и 
получаем, что 
Чтобы число 
делилось нацело на 12, необходимо и достаточно, чтобы число k давало остаток 5 при делении на 12, то есть 
Следовательно, 
По условию 
поэтому 
Шляпник решил отправить по почте Зайцу свой пароль от компьютера (слово из
Данные из таблицы считываются сверху вниз. Так, например, буква Б заменяется на 
В результате у него получилась последовательность 
Затем Шляпник построил еще одну последовательность
где r2(b) — остаток от деления числа b на 2. Затем он вычислил 
Получившуюся последовательность
Представим первые две буквы полученной строки в виде последовательности 
Тогда закон рекурсии для последовательности 
Получим строку 
Предъявите все эти наборы.
тогда упорядоченный набор 
в котором все элементы различны и 
называется трансверсалью или системой различных представителей данного семейства множеств. Как видно из условия, в данной задаче требуется найти все трансверсали семейства множеств 
тогда матрицей инцидентности данного семейства называется таблица, имеющая n строк и m столбцов, состоящая из нулей и единиц вида:
только если 
и 
—
равных 1, в котором элементы лежат в разных столбцах, называется трансверсалью матрицы инцидентности. Нетрудно понять, что число трансверсалей семейства множеств X1, 
всех цифр множеств 
То есть, 
если 
и 
...,
где 
Иными словами мы ищем такие наборы из 9 единиц, что все единицы одного набора лежат в разных строках и разных столбцах. Для облегчения поиска переставим в матрице B строки и столбцы (в целом, строки с меньшим количеством 1 ставим выше, а столбцы с большим количеством 1 — левее). Результат приведен на правом рисунке.
